Question

在一次研究性学习中，老师给出函数f（x）=

x

1+|x|

（x∈R），三位同学甲、乙、丙在研究此函数时给出命题：
甲：函数f（x）的值域为[-1，1]；
乙：若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
丙：若规定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），则f_n（x）=

x

1+n|x|

对任意n∈N^*恒成立．
你认为上述三个命题中不正确的个数有（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

分析：由f（x）的解析式可知，当x＞0时f（x）=

x

1+x

，y≠1．当x≤0时f（x）=

x

1-x

，y≠-1．又因为它在每一段上都单调，所以甲错，乙对，通过递推关系可知丙对，从而获解，对丙：由f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））．可以用不完全归纳法归纳即可判断丙正确．

解答：解：由f（x）的解析式可知，当x＞0时f（x）=

x

1+x

，y≠1．当x≤0时f（x）=

x

1-x

，y≠-1．并且该函数在每一分段上单调，所以，可推知甲同学错误，乙同学正确．
又有f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））；推知法f₂（x）=

f1(x)

1+[f1(x)]

=

x

1+2[x]

，…f_n（x）=

x

1+n[x]

，故丙正确
故选B．

点评：本题考查分段函数的性质，要注意结合函数值域求法及单调性判断方法对甲乙取舍，至于丙的说法用不完全归纳法归纳即可作出判断．