Question

19．已知方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{y}^{2}=4}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$；判断方程组解的情况．

Answer 1

分析 将第二式代入第一式消元得出关于x的方程，根据方程类型和一元二次方程的性质进行讨论判断．

解答 解：把y=k（x-1）代入x²-y²=4得（1-k²）x²+2k²x-k²-4=0，
（1）当k²=1即k=±1时，方程为2x-5=0，方程有一解，
（2）当1-k²≠0即k≠±1时，△=4k⁴+4（1-k²）（k²+4）=16-12k²，
①若△=16-12k²=0，即k=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，方程有一解，
②若△=16-12k²＞0，即-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜k＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，方程有两解，
③若△=16-12k²＜0，即k＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或k＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，方程无解．
综上，当k=±1或k=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，方程组有一组解；
当-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜k＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，方程组有两组解；
当k＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或k＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，方程组无解．

点评 本题考查了一元二次方程根的个数判断，分类讨论思想，属于中档题．