Question

【题目】设实数c＞0，整数p＞1，n∈N* ．
（1）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；
（2）数列{an}满足a1＞ ，an+1= an+ an1﹣p ． 证明：an＞an+1＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：令f（x）=（1+x）p﹣（1+px），则f′（x）=p（1+x）p﹣1﹣p=p[（1+x）p﹣1﹣1]．

①当﹣1＜x＜0时，0＜1+x＜1，由p＞1知p﹣1＞0，∴（1+x）p﹣1＜（1+x）0=1，

∴（1+x）p﹣1﹣1＜0，即f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣1，0]上为减函数，

∴f（x）＞f（0）=（1+0）p﹣（1+p×0）=0，即（1+x）p﹣（1+px）＞0，

∴（1+x）p＞1+px．

②当x＞0时，有1+x＞1，得（1+x）p﹣1＞（1+x）0=1，

∴f′（x）＞0，

∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，

∴f（x）＞f（0）=0，

∴（1+x）p＞1+px．

综合①、②知，当x＞﹣1且x≠0时，都有（1+x）p＞1+px，得证．

（2）

证明：先证an+1＞ ．

∵an+1= an+ an1﹣p，∴只需证 an+ an1﹣p＞ ，

将 写成p﹣1个 相加，上式左边= ，

当且仅当 ，即 时，上式取“=”号，

当n=1时，由题设知 ，∴上式“=”号不成立，

∴ an+ an1﹣p＞ ，即an+1＞ ．

再证an＞an+1．

只需证an＞ an+ an1﹣p，化简、整理得anp＞c，只需证an＞ ．

由前知an+1＞ 成立，即从数列{an}的第2项开始成立，

又n=1时，由题设知 成立，

∴ 对n∈N*成立，∴an＞an+1．

综上知，an＞an+1＞ ，原不等式得证．

【解析】第（1）问中，可构造函数f（x）=（1+x）p﹣（1+px），求导数后利用函数的单调性求解；
对第（2）问，从an+1 着手，由an+1= an+ an1﹣p ， 将求证式进行等价转化后即可解决，用相同的方式将an＞an+1进行转换，设法利用已证结论证明．
【考点精析】认真审题，首先需要了解不等式的证明(不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等)．