Question

【题目】已知函数的最小正周期是，且在区间上单调递减.

(1)求函数的解析式;

(2)若关于的方程

在上有实数解，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）利用三角恒等变换将函数化为，利用正弦函数的周期公式可得，利用区间上单调递减，可得，从而可得函数解析式；

（2）原方程可化为令，整理可得等价于在有解，分，和两种情况讨论，当时，在上有解在上有解，问题转化为求函数在上的值域即可.

（Ⅰ） ，，∴

当时，此时在单调递增，不合题意，∴；

∴，∴，在单调递减，符合题意，故.

（Ⅱ），，，.

方程即为：令，由，得，于是，

原方程化为，整理得，

则等价于在有解.

（1）当时，方程为得，故；

（2）当时，在上有解在上有解，问题转化为求函数在上的值域；设，则，，，

设，在时，单调递减，时，单调递增，∴的取值范围是，

在上有实数解或.