Question

【题目】已知点，圆:，过点的动直线与圆交于A,B两点，线段AB的中点为M,O为坐标原点.

求M的轨迹方程；

当|OP|=|OM|时，求的方程及的面积

Answer 1

【答案】（1）（x﹣1）2+（y﹣3）2=2（2）

【解析】分析：（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出的坐标，由与数量积等于可得的轨迹方程；（2）设的轨迹的圆心为，由得到，求出所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到所在直线方程，由点到直线的距离公式求出到直线的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出的长度，代入三角形面积公式得结论.

详解：（1）由圆C：x2+y2﹣8y=0，得x2+（y﹣4）2=16，

∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．

设M（x，y），则，．

由题意可得：．

即x（2﹣x）+（y﹣4）（2﹣y）=0．整理得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．

由于点P在圆C内部，

∴M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．

（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆，

由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，

又P在圆N上，从而ON⊥PM．

∵kON=3，∴直线l的斜率为﹣．

∴直线PM的方程为，即x+3y﹣8=0．

则O到直线l的距离为．

又N到l的距离为，

∴|PM|==．

∴．