【题目】如图,点P(0,﹣1)是椭圆C1: +
=1(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径,l1 , l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A、B两点,l2交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)求△ABD面积的最大值时直线l1的方程.
【答案】
(1)解:由题意可得b=1,2a=4,即a=2.
∴椭圆C1的方程为 ;
(2)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).
由题意可知:直线l1的斜率存在,设为k,则直线l1的方程为y=kx﹣1.
又圆 的圆心O(0,0)到直线l1的距离d=
.
∴|AB|= =
.
又l2⊥l1,故直线l2的方程为x+ky+k=0,联立 ,消去y得到(4+k2)x2+8kx=0,解得
,
∴|PD|= .
∴三角形ABD的面积S△= =
,
令4+k2=t>4,则k2=t﹣4,
f(t)= =
=
,
∴S△= ,当且仅
,即
,当
时取等号,
故所求直线l1的方程为 .
【解析】(1)由题意可得b=1,2a=4,即可得到椭圆的方程;(2)设A(x1 , y1),B(x2 , y2),D(x0 , y0).由题意可知:直线l1的斜率存在,设为k,则直线l1的方程为y=kx﹣1.利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长|AB|,又l2⊥l1 , 可得直线l2的方程为x+kx+k=0,与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标,即可得出|PD|,即可得到三角形ABD的面积,利用基本不等式的性质即可得出其最大值,即得到k的值.
【考点精析】掌握椭圆的标准方程是解答本题的根本,需要知道椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直图,如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以(单位:t,100≤
≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
(Ⅰ)将T表示为的函数;
(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,两座建筑物的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是9
和15
,从建筑物
的顶部
看建筑物
的视角
.
(1)求的长度;
(2)在线段上取一点
点
与点
不重合),从点
看这两座建筑物的视角分别为
问点
在何处时,
最小?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某市对所有高校学生进行普通话水平测试,发现成绩服从正态分布N(μ,σ2),下表用茎叶图列举出来抽样出的10名学生的成绩.
(1)计算这10名学生的成绩的均值和方差;
(2)给出正态分布的数据:P(μ﹣σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<X<μ+2σ)=0.9544.
由(1)估计从全市随机抽取一名学生的成绩在(76,97)的概率.
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【题目】若函数f(x)同时满足:
①对于定义域上的任意x恒有f(x)+f(﹣x)=0,
②对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有0,则称函数f(x)为“理想函数”.
给出下列四个函数中①f(x); ②f(x)
; ③f(x)
;④f(x)
,
能被称为“理想函数”的有_______________(填相应的序号).
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【题目】已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)且当x>0,f(x)<0.
给出下列四个结论:
①f(0)=0;②f(x)为偶函数;
③f(x)为R上减函数;④f(x)为R上增函数.
其中正确的结论是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】某同学为研究函数的性质,构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC,点P是边BC上的一个动点,设
,则
.请你参考这些信息,推知函数
的图象的对称轴是______;函数
的零点的个数是______.
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