Question

（本小题满分14分）

    如图，在四棱锥P—ABCD中，AB∥CD,CD=2AB,AB平面PAD，E为PC的中点．

   （1）求证：BE∥平面PAD;

   （2）若ADPB，求证：PA平面ABC    D．

                            

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】证明：（1）（方法一）取PD中点F，连结EF，AF．

因为E是PC的中点，F是PD的中点，

所以EF∥CD，且CD=2EF．

∥

又因为AB∥CD,CD=2AB,

所以EF=AB，即四边形ABEF是平行四边形．

因此BE∥AF．………………5分

又平面PAD，平面PAD,

所以BE∥平面PAD．………………8分

（方法二）延长DA、CB，交于点F，连结PF．

因为AB∥CD,CD=2AB,

所以B为CF的中点．

又因为E为PC的中点，

所以BE∥PF．………………5分

因为平面PAD，平面PAD,

所以BE∥平面PAD．………………8分

    （方法三）取CD中点F，连结EF，BF．

因为E为PC中点， F为CD中点，

所以EF∥PD．     

因为平面PAD，平面PAD,

所以EF∥平面PA   D．………………2分

因为F为CD中点，所以CD=2FD．

∥

又CD=2AB,AB∥CD,

故AB=FD，即四边形ABFD为平行四边形，所以BF∥AD．

因为平面PAD，平面PAD,所以BF∥平面PAD．

因为平面BEF,

所以平面BEF∥平面PA                D．………………6分

因为平面BEF，所以BE∥平面PA  D．………………8分

   （2）因为AB平面PAD,PA,平面PAD,

所以……………………10分

因为

所以平面PA B．………………12分

又平面PAB，所以

因为故PA面ABCD．……………………14分