Question

某地区的农产品A第x天（1≤x≤20，x∈N^*）的销售价格p=50-|x-6|（元∕百斤），一农户在第x天（1≤x≤20，x∈N^*）农产品A的销售量q=a+|x-8|（百斤）（a为常数），且该农户在第7天销售农产品A的销售收入为2009元．
（1）求该农户在第10天销售农产品A的销售收入是多少？
（2）这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？为多少？

Answer 1

分析：（1）第7天的销售价格p=50-|x-6|=50-|7-6|，销售量q=a+|x-8|=a+|7-8|，得第7天的销售收入W₇=pq=49×（a+1）=2009，可得a的值；从而求得第10天的销售收入W₁₀=p₁₀•q₁₀；
（2）若设第x天的销售收入为W_x，则W_x=pq=（50-|x-6|）（a+|x-8|），去掉绝对值后是分段函数Wx=

(44+x)(48-x)   1≤x≤6 2009   x=7 (56-x)(32+x)   8≤x≤20

；
分别在1≤x≤6时，8≤x≤20时，求得函数W_x的最大值，并通过比较得出，第几天该农户的销售收入最大．

解答：解：（1）由已知第7天的销售价格p=50-|x-6|=50-|7-6|=49，销售量q=a+|x-8|=a+|7-8|=a+1．
∴第7天的销售收入W₇=pq=49×（a+1）=2009（元）．解得，a=40；
所以，第10天的销售收入为W₁₀=p₁₀•q₁₀=46×42=1932（元）．
（2）设第x天的销售收入为W_x，则Wx=

(44+x)(48-x)   1≤x≤6 2009   x=7 (56-x)(32+x)   8≤x≤20

；
当1≤x≤6时，Wx=(44+x)(48-x)≤(

(44+x)+(48-x)

2

)2=2116（当且仅当x=2时取等号），∴当x=2时有最大值W₂=2116；
当8≤x≤20时，Wx=(56-x)(32+x)≤(

(56-x)+(32+x)

2

)2=1936（当且仅当x=12时取等号），∴当x=12时有最大值W₁₂=1936；
由于W₂＞W₇＞W₁₂，所以，第2天该农户的销售收入最大．

点评：本题考查了含有绝对值的函数模型的应用；含有绝对值的函数，通常转化为分段函数来解答，本题是中档题目．