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    如图，A为椭圆上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F1、F2，当AC垂直于x轴时，恰好有AF1：AF2＝3：1.

    (Ⅰ) 求椭圆的离心率；(Ⅱ) 设.

    ①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，求的值；

    ②当A点为该椭圆上的一个动点时，试判断是否

    为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由.

    （Ⅰ）   (Ⅱ) 6、略


    解析:

    （Ⅰ）设，则.由题设及椭圆定义得，

    消去得，所以离心率.

    (Ⅱ) 由(1)知，，所以椭圆方程可化为     .

    ①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，，直线的方程为.

    由得　，解得，

    ∴　点的坐标为.又，所以，，所以，.②当A点为该椭圆上的一个动点时，为定值6.

    证明　设，，则.

    若为椭圆的长轴端点，则或，

    所以.若为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则由得，，所以.

    又直线的方程为，所以由得

    .，

    ∴.由韦达定理得　，所以.　同理　.

    ∴.

    综上证得，当A点为该椭圆上的一个动点时，为定值6.

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