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    （本题满分14分）

    如图，酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8 cm .上口宽6cm , 水以20 cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4 cm时，求水升高的瞬时变化率.

     

     

    【答案】

    解法一：设时刻t s时，杯中水的体积为Vcm3,水面半径为r cm, 水深为h cm.

    则                                     2分

       5分

                    7分

    记水升高的瞬时变化率为（即当无限趋近于0时，无限趋近于）

    从而有，当h=4时，解得   12分

    答：当水深为4 cm时，水升高的瞬时变化率为。         14分

    解法二：仿解法一，可得，即      4分

        5分

    当无限趋近于0时，无限趋近于,即无限趋近于   12分

    当h=4时,水升高的瞬时变化率是.                                14分

    解法三：水面高为4 cm时，可求得水面半径为，设水面高度增加时，水的体积增加，从而,(用圆柱近似增加的水体积) ,              8分

    故.当无限趋近于0时得                   10分

    即                                                     12分

    答：当水深为4 cm时，水升高的瞬时变化率为。                 14分

    解法四：设t 时刻时注入杯中的水的高度为 h ,杯中水面为圆形，其圆半径为r      1分

    如图被子的轴截面为等腰三角形ABC,AO1O为底边BC上的高，O1,O 分别为DE，BC中点，

    容易求证∽，那么           2分

    时刻时杯中水的容积为V=     3分

    又因为V=20t,                                 4分

    则    即           6分

                                8分

    当h=4 时，设t=t1,

    由三角形形似的，               9分

    那么              10分

          12分

    答:当水高为4 cm时，水升高的瞬时变化率为cm/s                   14分

     

    【解析】略

     

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    π
    3
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     （α 参数）．求直线l 和曲线C的交点P的直角坐标．
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