Question

求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a²+b²+c²=ab+bc+ca，这里a，b，c是△ABC的三条边．

Answer 1

证明：（1）充分性：如果a²+b²+c²=ab+bc+ca，
则a²+b²+c²-ab-bc-ca=0
所以（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0
所以（a-b）=0，（b-c）=0，（c-a）=0．
即a=b=c．
所以△ABC是等边三角形．
（2）必要性：如果△ABC是等边三角形，则a=b=c．
所以（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0
所以a²+b²+c²-ab-bc-ca=0
所以a²+b²+c²=ab+bc+ca
综上可知：△ABC是等边三角形的充要条件是a²+b²+c²=ab+bc+ca．