Question

5．若函数f（x）=（x²-$\frac{3}{2}$x）e^x-m有三个零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{9}{2}$e${\;}^{-\frac{3}{2}}$）
• B． （-$\frac{e}{2}$，0]
• C． （$\frac{9}{2}$e${\;}^{-\frac{3}{2}}$，+∞）
• D． （-$\frac{e}{2}$，$\frac{9}{2}$e${\;}^{-\frac{3}{2}}$]

Answer 1

分析 函数f（x）=（x²-$\frac{3}{2}$x）e^x-m有三个零点，即：方程（x²-$\frac{3}{2}$x）e^x=m有三个根，令g（x）=（x²-$\frac{3}{2}$x）e^x，利用导数求出函数g（x）单调性，结合图象即可求解．

解答 解：函数f（x）=（x²-$\frac{3}{2}$x）e^x-m有三个零点，即：方程（x²-$\frac{3}{2}$x）e^x=m有三个根，
令g（x）=（x²-$\frac{3}{2}$x）e^x，
∴g′（x）=e^x（x²+$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$）=0，∴x=1或x=-$\frac{3}{2}$，
∴当x∈（-∞，-$\frac{3}{2}$）时，g（x）单调递增，
当x∈（-$\frac{3}{2}$，1）时，g（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g（x）单调递增；


∴x=-$\frac{3}{2}$时，g（x）_max=g（-$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{2}$e${\;}^{-\frac{3}{2}}$，
x=1时，g（x）_min=g（1）=-$\frac{1}{2}$e^-1，
结合图象可得m∈（0，$\frac{9}{2}$e${\;}^{-\frac{3}{2}}$），
故选：A

点评 本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力，属于中档题，