Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d （a、b、c∈R），且函数f（x）的图象关于原点对称，其图象x=3处的切线方程为8x-y-18=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在区间[a，b]，使得函数f（x）的定义域和值域为[a，b]？若存在，求出这样的一个区间[a，b]；若不存在，则说明理由；
（3）若数列{a_n}满足：a₁≥1，a_n+1≥f′（a_n+1），试比较

1

1+a1

+

1

1+a2

+

1

1+a3

+…+

1

1+an

与1的大小关系，并说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数解析式的求解及常用方法,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由f （x）的图象关于原点对称，得到b=d=0，再由题意得到f'（3）=8，且f （3）=6，得到方程，解出a，c即可；
（2）假设存在区间[a，b]，使得函数f（x）的定义域和值域为[a，b]，由

y= 1 3 x3-x y=x

解得x=0或x=±

6

．讨论f（x）在当x∈[-

6

，-1)或x∈(1，

6

]时，f'（x）＞0；当x∈（-1，1）时，f'（x）＜0．
得到极值，即可确定；
（3）由（2）推测a_n≥2ⁿ-1．再用数学归纳法证明，再取倒数，累加运用放缩法即可判断．

解答： 解：（1）∵f （x）的图象关于原点对称，∴f （-x）+f （x）=0恒成立，
即2bx²+2d≡0，∴b=d=0．
又f （x）的图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0，即y-6=8（x-3），
∴f'（3）=8，且f （3）=6．
而f （x）=ax³+cx，∴f'（x）=3ax²+c．

f′(3)=27a+c=8 f(3)=27a+3c=6

解得

a= 1 3 c=-1.

，
故所求的解析式为f （x）=

1

3

x3-x．
（2）由

y= 1 3 x3-x y=x

解得x=0或x=±

6

．
又由f'（x）=0，得x=±1，
且当x∈[-

6

，-1)或x∈(1，

6

]时，f'（x）＞0；
当x∈（-1，1）时，f'（x）＜0．
所以，函数f （x）在[-

6

，-1]和[1，

6

]上分别递增；在[-1，1]上递减．
于是，函数f （x）在[-

6

，

6

]上的极大值和极小值分别为f （-1）=

2

3

，f （1）=-

2

3

．
而-

6

＜-

2

3

＜

2

3

＜

6

，
故存在这样的区间[a，b]，其中满足条件的一个区间为[-

6

，

6

]．
（3）由（2）知f'（x）=x²-1，所以，有a_n+1≥（a_n+1）²-1．
而函数y=（x+1）²-1=x²+2x在[1，+∞）上单调递增，
所以，由a₁≥1，可知a₂≥（a₁+1）²-1≥2²-1；
进而可得a₃≥（a₂+1）²-1≥2³-1；…
由此猜想a_n≥2ⁿ-1．
下列用数学归纳法给出证明：
①当n=1时，a₁≥1=2¹-1，结论成立．
②假设n=k时有a_k≥2^k-1，
则当n=k+1时，由于函数f （x）=x²+2x在[1，+∞）上递增，可知，
a_k+1≥（a_k+1）²-1≥（2^k-1+1）²-1=2^2k-1≥2^k+1-1，
即n=k+1时，结论也成立．
所以，对任意的n∈N^*都有a_n≥2ⁿ-1，即1+a_n≥2ⁿ，

1

1+an

＜

1

2n

从而

1

1+a1

+

1

1+a2

+

1

1+a3

+…+

1

1+an

≤

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-(

1

2

)n＜1，
故

1

1+a1

+

1

1+a2

+

1

1+a3

+…+

1

1+an

＜1．

点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和求单调区间，和极值、最值，考查数列的通项和运用数学归纳法证明，属于有一定难度的题．