Question

（2012•杭州一模）对于函数 f（x）与 g（x）和区间E，如果存在x₀∈E，使|f（x₀）-g（x₀）|＜1，则我们称函数 f（x）与 g（x）在区间E上“互相接近”．那么下列所给的两个函数在区间（0，+∞）上“互相接近”的是（　　）

• A．f（x）=x²．g（x）=2x-3
• B．（x）=

  x

  ，g（x）=x+2
• C．f（x）=e^-x，g（x）=-

  1

  x

• D．f（x）=lnx，g（x）=x

Answer 1

分析：对照新定义，利用配方法、导数法可确定函数的值域，由此，就可以得出结论．

解答：解：对于A，f（x）-g（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2≥2，∴不存在x₀∈（0，+∞），使|f（x₀）-g（x₀）|＜1，∴A不满足；
对于B，g(x)-f(x)= x+2-

x

=(

x

-

1

2

)2+

7

4

≥

7

4

，∴不存在x₀∈（0，+∞），使|f（x₀）-g（x₀）|＜1，
∴B不满足；
对于C，h（x）=f(x)-g(x)=e-x+

1

x

，h′（x）=-e-x-

1

x2

＜0，∴函数在（0，+∞）上单调减，
∴x→0，h（x）→1，∴存在x₀∈（0，+∞），使|f（x₀）-g（x₀）|＜1，∴C满足；
对于D，h（x）=g（x）-f（x）=x-lnx（x＞0），h′（x）=1-

1

x

，
令h′（x）＞0，可得x＞1，令h′（x）＜0，可得0＜x＜1，
∴x=1时，函数取得极小值，且为最小值，最小值为h（1）=1，∴g（x）-f（x）≥1，
∴不存在x₀∈（0，+∞），使|f（x₀）-g（x₀）|＜1，∴D不满足；
故选C．

点评：本题重点考查对新定义的理解与运用，考查配方法、导数法求函数的值域，有一定的综合性．