Question

3．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）设M为AB中点，求证：MF∥平面DAE．

Answer 1

分析 （1）根据条件可以得到BC⊥平面ABE，从而有AE⊥BC，根据BF⊥平面ACE，便可得到AE⊥BF，从而可以根据线面垂直的判定定理得到AE⊥平面BCE，从而有AE⊥BE；
（2）根据BE=BC，BF⊥CE便可得出F为CE中点，可取AC的中点N，连接MN，FN，MF，根据三角形中位线性质及面面平行的判定定理便可得出平面MNF∥平面DAE，从而得出MF∥平面DAE．

解答 证明：（1）证明：AD⊥平面ABE，AD∥BC；
∴BC⊥平面ABE，AE?平面ABE；
∴AE⊥BC；
又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，BF∩BC=B；
∴AE⊥平面BCE，BE?平面BCE；
∴AE⊥BE；
（2）如图，取AC中点N，连结MN，FN，FM；

∵M，N分别为AB，AC的中点；
∴MN∥BC；
∴MN∥AD，AD?平面DAE，MN?平面DAE；
∴MN∥平面DAE；
EB=BC，BF⊥CE，∴F为CE中点；
∴NF∥AE；
∴NF∥平面DAE，NF∩MN=N；
∴平面MNF∥平面DAE，MF?平面MNF；
∴MF∥平面DAE．

点评 考查三角形中位线的性质，等腰三角形底边的中线也是高线，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，以及面面平行的性质．