Question

已知f（x）为二次函数且二次项系数大于

1

2

，不等式f（x）＜2x的解集为（-1，2），且方程f（x）+

9

4

=0有两个相等的实根，若α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f'（x）是f（x）的导数，设a₁=3，a_n+1=a_n-

f(an)

f′(an)

(n∈N*)．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）记b_n=lg

an-β

an-α

(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和．

Answer 1

分析：（I）由题意可设f（x）-2x=a（x+1）（x-2），方程f（x）+

9

4

=0有两个相等的实根，整理成二次方程后由△=0求得a．从而得出函数解析式f（x）=x²+x-2．
（II）由（Ⅰ），f'（x）=2x+1．由a_n+1=a_n-

f(an)

f′(an)

(n∈N*)．
计算得出an+1=an-

f(an)

f′(an)

=an-

a 2 n +an-2

2an+1

=

a 2 n +2

2an+1

，
an+1-β=

a 2 n +2

2an+1

+2=

(an+2)2．

2an+1

，从而
bn+1=lg

an+1-β

an+1-α

=lg(

an+2

an-1

)2=lg(

an-β

an-α

)2=2lg

an-β

an-α

=2bn．得出数列{b_n}是等比数列，前n项和可求．

解答：解：（I）由题意可设f（x）-2x=a（x+1）（x-2），
即f（x）=a（x+1）（x-2）+2x．…（2分）∴a(x+1)(x-2)+2x+

9

4

=0两个相等的实数根
即ax2+(2-a)x+

9

4

-2a=0．
则△=(2-a)2-4a(

9

4

-2a)=0，…（4分）
解得a=1，a=

4

9

(舍去)．…（5分）
故f（x）=x²+x-2．…（6分）
（II）由（I）得f（x）=0的两根α、β，
则α=1，β=-2．…（7分）
又∴f'（x）=2x+1．…（8分）
则an+1=an-

f(an)

f′(an)

=an-

a 2 n +an-2

2an+1

=

a 2 n +2

2an+1

，
∴an+1-a=

a 2 n +2

2an+1

-1=

(an-1)2

2an+1

．…（9分）
同理an+1-β=

a 2 n +2

2an+1

+2=

(an+2)2．

2an+1

…（10分）
∴bn+1=lg

an+1-β

an+1-α

=lg(

an+2

an-1

)2=lg(

an-β

an-α

)2=2lg

an-β

an-α

=2bn．…（12分）
∴数列{bn}是以b1=lg

a1-β

a1-α

=lg

3+2

3-1

=lg

5

2

为首项，2为公比的等比数列，…（13分）
∴b1+b2+…+bn=

lg 5 2 (1-2n)

1-2

=(2n-1)lg

5

2

．…（14分）

点评：本题是函数与数列的综合题．考查逻辑思维、推理论证，运算求解能力．