Question

在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心，
（1）证明：E、F、G、H四点共面；
（2）证明：平面EFGH∥平面ABCD．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）分别延长P、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R，依题意，易证MNQR为平行四边形，继而可得

EG

=

EF

+

EH

，由共面向量定理得，E、F、G、H四点共面；
（2）

|PE|

|PM|

=

|PF|

|PN|

=

2

3

⇒EF∥MN，继而可得EF∥底面ABCD，同理可得EH∥底面ABCD，又EF∩EH=E，利用面面平行的判定定理即可证得平面EFGH∥平面ABCD．

解答： 证明：（1）分别延长P、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R，

∵E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心，
∴M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连接MNQR，所得四边形为平行四边形，
且有

PE

=

2

3

PM

，

PF

=

2

3

PN

，

PG

=

2

3

PQ

，

PH

=

2

3

PR

，
∵MNQR为平行四边形，
∴

EG

=

PG

-

PE

=

2

3

PQ

-

2

3

PM

=

2

3

MQ

=

2

3

（

MN

+

MR

）=

2

3

（

PN

-

PM

）+

2

3

（

PR

-

PM

）=

2

3

（

3

2

PF

-

3

2

PE

）+

2

3

（

3

2

PH

-

3

2

PE

）=

EF

+

EH

，
由共面向量定理得，E、F、G、H四点共面；
（2）∵

PE

=

2

3

PM

，

PF

=

2

3

PN

，
∴

|PE|

|PM|

=

|PF|

|PN|

=

2

3

，∴EF∥MN，而EF?平面EFGH，MN?底面ABCD，∴EF∥底面ABCD，
同理可得EH∥底面ABCD，又EF∩EH=E，
∴平面EFGH∥平面ABCD．

点评：本题考查平面与平面平行的判定，考查共面向量基本定理的应用，考查作图、推理与证明的能力，属于难题．