Question

已知函数f（x）=

x2

1+x2

．
（1）分别计算f（2）+f（

1

2

），f（3）+f（

1

3

），f（4）+f（

1

4

）；
（2）归纳猜想一般结论，并给出证明；
（3）求值：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2013

）．

Answer 1

考点：函数的值,归纳推理

专题：探究型

分析：（1）把x=2、

1

2

代入解析式求出f（2）+f（

1

2

）的值，同理可得f（3）+f（

1

3

）、f（4）+f（

1

4

）的值；
（2）根据（1）中式子的特点猜想：f(x)+f(

1

x

)=1，再代入解析式化简求值；
（3）根据（2）证明的结论求出式子的值．

解答： 解：（1）由题意得，f（x）=

x2

1+x2

，
所以f（2）+f（

1

2

）=

22

1+22

+

( 1 2 )2

1+( 1 2 )2

=

22

1+22

+

1

1+22

=1，
同理可得，f（3）+f（

1

3

）=1，f（4）+f（

1

4

）=1；
（2）由（1）猜想：f(x)+f(

1

x

)=1，
证明：f(x)+f(

1

x

)=

x2

1+x2

+

( 1 x )2

1+( 1 x )2

=

x2

1+x2

+

1

1+x2

=1；
（3）由（2）得，
原式=f（1）+[f（2）+f（

1

2

）]+[f（3）+f（

1

3

）]+…[f（2013）+f（

1

2013

）]
=

1

2

+2012=

4025

2

．

点评：本题考查函数的值，以及归纳推理，由特殊的式子的特点和规律得到一般性的结论，再证明结论的成立，属于中档题．