Question

品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．
现设n=4，分别以a₁，a₂，a₃，a₄表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=|1-a₁|+|2-a₂|+|3-a₃|+|4-a₄|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．
（Ⅰ）写出X的所有可能值组成的集合S；
（Ⅱ）假设a₁，a₂，a₃，a₄等可能地为1，2，3，4的各种排列，求S中每个元素出现的概率．

Answer 1

考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}，在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，a₂，a₄中的奇数个数等于a₁，a₃中的偶数个数，得到|1-a₁|+|3-a₃|与|2-a₂|+|4-a₄|的奇偶性相同，得到结论．
（Ⅱ）可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，计算每种排列下的X的值，S中每个元素出现的概率．

解答： 解：由条件可知，本题的试验是：将1，2，3，4重新排序．
试验结果是：1，2，3，4的一个排列．
从而样本空间为1，2，3，4的各种排列所组成的集合．
枚举出1，2，3，4的排列共24种，并计算X值，得表如下：

	1	2	3	4	X
排列1	1	2	3	4	0
排列2	1	2	4	3	2
排列3	1	3	2	4	2
排列4	1	3	4	2	4
排列5	1	4	2	3	4
排列6	1	4	3	2	4
排列7	2	1	3	4	2
排列8	2	1	4	3	4
排列9	2	3	1	4	4
排列10	2	3	4	1	6
排列11	2	4	1	3	6
排列12	2	4	3	1	6
排列13	3	1	2	4	4
排列14	3	1	4	2	6
排列15	3	2	1	4	4
排列16	3	2	4	1	6
排列17	3	4	1	2	8
排列18	3	4	2	1	8
排列19	4	1	2	3	6
排列20	4	1	3	2	6
排列21	4	2	1	3	6
排列22	4	2	3	1	6
排列23	4	3	1	2	8
排列24	4	3	2	1	8

由上表易得：
（Ⅰ）X的可能值集合{0，2，4，6，8}；
（Ⅱ）在等可能的前提下，根据古典概型的概率公式，有P(X=0)=

1

24

，P(X=2)=

3

24

，P(X=4)=

7

24

，P(X=6)=

9

24

，P(X=8)=

4

24

．

点评：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．