Question

一艘渔艇停泊在距岸9km处，今需派人送信给距渔艇3

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km处的海岸渔站中，如果送信人步行每小时5km，船速每小时4km，问应在何处登岸可以使抵达渔站的时间最省？

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：先求出时间的表达式，再利用导数的方法求出最值即可．

解答： 解：如图，设渔艇停泊在A处，
海岸线BC（C为渔站），AB⊥BC于B．
∴AB=9，AC=3

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．
设此人在D处登岸，CD=x，
则BC=

AC2-AB2

=15，
∴BD=15-x，∴AD=

92+(15-x)2

，
∴送信所需时间t=

81+(15-x)2

4

+

x

5

，
∴t′=

-(15-x)

4 81+(15-x)2

+

1

5

=

4 81+(15-x)2 +5x-75

20 81+(15-x)2

．
令t'=0时，解得（5x-75）²=16[81+（15-x）²]．
∴|15-x|=12，∴x=3，x=27（舍去）．
答：此人在距渔站3km处登岸可使抵达渔站的时间最短．

点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．