Question

已知等差数列{a_n}的公差d大于0，且a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=1-

1

2

b_n．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，试比较

1

bn

与S_n+1的大小．并且用数学归纳法给出证明．

Answer 1

考点：数学归纳法,等比数列的前n项和

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）求出首项与公差，公比，可得数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）先求和，再比较

1

bn

与S_n+1的大小，最后用数学归纳法给出证明．

解答： 解：（1）由已知得a₂+a₅=12，a₂a₅=27，
又∵{a_n}的公差大于0，
∴a₅＞a₂，∴a₂=3，a₅=9．∴d=

a5-a2

3

=

9-3

3

=2，a₁=1，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．[（2分）]
∵T_n=1-

1

2

b_n，∴b₁=

2

3

，当n≥2时，T_n-1=1-

1

2

b_n-1，
∴b_n=T_n-T_n-1=1-

1

2

b_n-（1-

1

2

b_n-1），
化简，得b_n=

1

3

b_n-1，[（4分）]
∴{b_n}是首项为

2

3

，公比为

1

3

的等比数列，
即b_n=

2

3n

，
∴a_n=2n-1，b_n=

2

3n

．[（6分）]
（2）∵S_n=

1+(2n-1)

2

n=n²，∴S_n+1=（n+1）²，

1

bn

=

3n

2

．
以下比较

1

bn

与S_n+1的大小：
当n=1时，

1

b1

=

3

2

，S₂=4，∴

1

b1

＜S₂，当n=2时，

1

b2

=

9

2

，S₃=9，∴

1

b2

＜S₃，
当n=3时，

1

b3

=

27

2

，S₄=16，∴

1

b3

＜S₄，当n=4时，

1

b4

=

81

2

，S₅=25，∴

1

b4

＞S₅．
猜想：n≥4时，

1

bn

＞S_n+1．[（9分）]
数学归纳法给出证明：
①当n=4时，

1

b4

=

81

2

，S₅=25，∴

1

b4

＞S₅．
②假设n=k时，结论成立，即

1

bk

＞S_k+1．
则n=k+1时，

1

bk+1

=

3k+1

2

＞3S_k+1．
∵3（k+1）²-（k+2）²=2k²+2k+1＞0，
∴3S_k+1＞S_k+2，∴

1

bk+1

＞S_k+2，
由①②可知，n≥4时，

1

bn

＞S_n+1．[（12分）]

点评：本题主要考查数列递推式、数学归纳法，第（1）问要注意递推公式的灵活运用，第（2）问要注意数学归纳法的证明技巧．数学归纳法的基本形式设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n₀）成立2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立．