Question

直角坐标系中，已知动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离与它到y轴的距离之差1．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）过原点O作相互垂直的（1）中所求抛物线的两条弦OA、OB，作OQ⊥AB垂足为Q，求点Q的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）依题意知，动点P到定点F（1，0）的距离等于P到直线x=-1的距离，曲线C是以原点为顶点，F（1，0）为焦点的抛物线，由此可求曲线C方程；
（2）设Q（x，y），欲求这条曲线的方程，只须求出x，y之间的关系即可，利用OA⊥OB，结合方程根与系数的关系，将此条件用坐标代入化简即得曲线的方程．

解答： 解：（1）依题意知，动点P到定点F（1，0）的距离等于P到直线x=-1的距离，
∴曲线C是以原点为顶点，F（1，0）为焦点的抛物线          
∴p=2
∴曲线C方程是y²=4x
（2）设Q（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
l_AB：y=kx+b，（b≠0）代入抛物线方程，消去y得：k²x²+（2kb-4）x+b²=0，x₁x₂=

b2

k2

．
∴y₁y₂=

4b

k

∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
所以

b2

k2

+

4b

k

=0，b≠0，∴b=4k，∴直线AB过定点M（4，0），
又OQ⊥AB，∴点O的轨迹是以OM为直径的圆（不含原点O），
∴点P的轨迹方程为（x+2）²+y²=4（y≠0）．

点评：本题考查抛物线的定义，考查了直接法求轨迹方程，直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．