Question

某人用7把钥匙去开门，其中只有一把钥匙能打开门上的锁，现逐个任取一把钥匙试开，且打不开的钥匙不放回，设X为找到此门钥匙的开门次数．
（1）列出关于随机变量X的分布列；
（2）求关于随机变量X的期望与方差．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）由已知得X=1，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（2）由X的分布列能求出E（X）和D（X）．

解答： 解：（1）由已知得X=1，2，3，4，5，6，
P（X=1）=

1

7

，
P（X=2）=

6

7

×

1

6

=

1

7

，
P（X=3）=

6

7

×

5

6

×

1

5

=

1

7

，
P（X=4）=

6

7

×

5

6

×

4

5

×

1

4

=

1

7

，
P（X=5）=

6

7

×

5

6

×

4

5

×

3

4

×

1

3

=

1

7

，
P（X=6）=1-

1

7

×5=

2

7

．
X的分布列为：

X	1	2	3	4	5	6
P	1 7	1 7	1 7	1 7	1 7	2 7

（2）E（X）=1×

1

7

+2×

1

7

+3×

1

7

+4×

1

7

+5×

1

7

+6×

2

7

=

27

7

，
D（X）=（1-

27

7

）²×

1

7

+（2-

27

7

）²×

1

7

+（3-

27

7

）²×

1

7

+（4-

27

7

）²×

1

7

+（5-

27

7

）²×

1

7

+（6-

27

7

）²×

1

7

+（7-

27

7

）²×

2

7

=

160

49

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望、方差的求法，解题时要认真审题，是中档题．