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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知a，b，c＞0，a+b+c=1，求证：（a+
    1
    a
    ）（b+
    1
    b
    ）（c+
    1
    c
    ）≥
    1000
    27
    ．
    考点：基本不等式在最值问题中的应用
    专题：证明题,不等式的解法及应用
    分析：左边=abc+（
    bc
    a
    +
    ac
    b
    +
    ab
    c
    ）+（
    c
    ab
    +
    b
    ac
    +
    a
    bc
    ）+
    1
    abc
    ≥abc+
    1
    abc
    +3
    3abc
    +
    3
    3abc
    =(
    3abc
    +
    1
    3abc
    )3    ，构造函数f（x）=(x+
    1
    x
    )3    （x∈（0，
    1
    3
    ]），证明函数在（0，
    1
    3
    ]上单调递减，即可证明结论．
    解答： 证明：左边=abc+（
    bc
    a
    +
    ac
    b
    +
    ab
    c
    ）+（
    c
    ab
    +
    b
    ac
    +
    a
    bc
    ）+
    1
    abc
    ≥abc+
    1
    abc
    +3
    3abc
    +
    3
    3abc
    =(
    3abc
    +
    1
    3abc
    )3
    构造函数f（x）=(x+
    1
    x
    )3    （x∈（0，
    1
    3
    ]），
    则f′（x）=3(x+
    1
    x
    )2(1-
    1
    x2
    )    ＜0，
    ∴函数在（0，
    1
    3
    ]上单调递减，
    ∴函数f（x）=(x+
    1
    x
    )3    （x∈（0，
    1
    3
    ]）的最小值为
    1000
    27
    ，
    ∴(
    3abc
    +
    1
    3abc
    )3    的最小值为
    1000
    27
    ，
    ∴（a+
    1
    a
    ）（b+
    1
    b
    ）（c+
    1
    c
    ）≥
    1000
    27
    ．
    点评：本题考查基本不等式在最值问题中的应用，考查导数知识，考查学生分析解决问题的能力，有难度．
    练习册系列答案
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    20

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    3π
    4
    ，0）对称，且在[0，
    π
    2
    ]上是单调函数．
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    		3
    cos2x．
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    （1）求证平面AEC⊥平面PDB；
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    		3
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    sin(2π+α)tan(2π+α)
    ．

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    （1）列出关于随机变量X的分布列；
    （2）求关于随机变量X的期望与方差．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是 
    AC
    的中点，BD交AC于E．
    （1）若CD=2
    		3
    ，O到AC的距离为1，求⊙O的半径r；
    （2）求证：DC2=DE•DB．

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