Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（1）求证平面AEC⊥平面PDB；
（2）当PD=

3

AB，且E为PB中点时，求AE与平面PDB所成角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）要证明面面垂直首先要通过线面垂直来进行转化，然后找到线面垂直的充分条件即可．
（2）要求直线与平面的夹角，可以在线上找到一点作面的垂线，然后通过解三角形知识求解．

解答： 证明：如图所示：

连接AC，BD交于O，ABCD的底面是正方形，
∴AC⊥BD，
∵四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD，
∵AC?平面ACE，
∴平面AEC⊥平面PDB；
（2）由于E为PB中点，连接OE，
由（1）得OE⊥AC，OE⊥BD，
∴∠EAC就是AE与平面PDB所成角，
设AB=1  PD=

3

AB，
PD=

3

，
∴AC=

2

  AO=

2

2

  OE=

3

2

，
在Rt△AOE中，tan∠AEO=

2 2

3 2

=

6

3

，
AE与平面PDB所成角的正切值为

6

3

．

点评：本题考查的知识点：直线与平面垂直的性质定理，直线与平面垂直的判定定理，直线与平面的夹角，解直角三角形知识，是高考的重点题型．