Question

已知函数f（x）=x²-（c+1）x+c（c∈R）．
（1）解关于x的不等式f（x）＜0；
（2）当c=-2时，不等式f（x）＞ax-5在（0，2）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据题意，由f（x）＜0，解含有参数的不等式x²-（c+1）x+c＜0；讨论c的取值，求出不等式的解集．

（2）利用分离变量的方法求a的取值范围．

解答： 解：∵f（x）＜0，
∴x²-（c+1）x+c=（x-1）（x-c）＜0；
∴①当c＜1时，c＜x＜1，
②当c=1时，（x-1）²＜0，∴x∈∅，
③当c＞1时，1＜x＜c，
综上，当c＜1时，不等式的解集为{x|c＜x＜1}，
当c=1时，不等式的解集为∅，
当c＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜c}．
（2）把c=-2时，f（x）＞ax-5，由于x∈（0，2），
所以不等式可化为：a＜

x2+x+3

x

=x+

3

x

+1，
因为x+

3

x

+3≥2

x• 3 x

+1=2

3

+1，
所以a＜2

3

+1．

点评：本题考查了求含有参数的一元二次不等式的解集问题，解题时应讨论c的取值，对不等式解集的影响，是易错题；方法求参数的取值范围经常用分离变量的方法．