Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是 

AC

的中点，BD交AC于E．
（1）若CD=2

3

，O到AC的距离为1，求⊙O的半径r；
（2）求证：DC²=DE•DB．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：立体几何

分析：（1）OD⊥AC，设垂足为F，求出CF²=r²-1，利用DC²=CF²+DF²，建立方程，即可求得⊙O的半径．
（2）先证明△BCD∽△CED，可得

DE

DC

=

DC

DB

，从而问题得证；

解答： 解：（1）∵D是

AC

的中点，∴OD⊥AC，

设OD与AC交于点F，则OF=1，
在Rt△COF中，OC²=CF²+OF²，即CF²=r²-1，
在Rt△CFD中，DC²=CF²+DF²，
∴（2

3

）²=r²-1+（r-1）²，
解得r=3．
证明：（2）由D为

AC

中点知，∠ABD=∠CBD，
又∵∠ABD=∠ECD，
∴∠CBD=∠ECD，
又∠CDB=∠EDC，
∴△BCD～△CED，
∴

DE

DC

=

DC

DB

，
∴DC²=DE•DB；

点评：本题是选考题，考查几何证明选讲，考查三角形的相似与圆的性质，属于基础题．