Question

【题目】在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，△ABD沿对角线BD翻折，形成三棱锥A﹣BCD．

①当时，三棱锥A﹣BCD的体积为；

②当面ABD⊥面BCD时，AB⊥CD；

③三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为定值．

以上命题正确的是_____．

Answer 1

【答案】③

【解析】

在①中，由题意可得平面ACD，利用即能求出三棱锥A﹣BCD的体积；在②中，过点A作AE⊥平面BCD，交BD于E，则AE⊥CD，即可得 AB与CD不垂直；在③中，三棱锥A﹣BCD外接球的球心为O，半径为，从而三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为定值．

∵在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，

∴AC=BD，

△ABD沿对角线BD翻折，形成三棱锥A﹣BCD．

在①中，当时, ，，

∴，，

又，∴平面ACD，

∴，故①错误；

在②中，当面ABD⊥面BCD时，过点A作AE⊥平面BCD，交BD于E，

则AE⊥CD，又CD与平面ABD不垂直，故AB与CD不垂直，故②错误；

在③中，取BD的中点O，连接OA、OC，

∵OA＝OB＝OC＝OD，

∴三棱锥A﹣BCD外接球的球心为O，半径为，

∴三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为定值，故③正确．

故答案为：③．