Question

【题目】直四棱柱被平面所截，所得的一部分如图所示，．

（1）证明：平面；

（2）若，，平面与平面所成角的正切值为，求点到平面的距离．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）要证线面平行只要证平面外一条直线平行于平面内一条直线即可，本题证明为平行四边形即可得证；

（2）根据所给关系，建立直角坐标系，求出两平面的法向量，利用平面与平面所成角的正切值为，可求出E点坐标，再利用几何关系或者投影即可得解.

（1）依题：平面与两平行平面，的交线分别为，，

故有，又，故有平行四边形，

∴，面，面，∴平面．

（2）中，由余弦定理可得，由勾股定理得，又平面，

故而，，两两垂直，如图建系．

【法一求】取中点，由，得平行四边形，

∴，平面，作，（连），又，

∴平面，得，又，∴为所求二面角的平面角．

易求，又，．

【法二求】面的法向量显然为，设面的法向量为，，

，令，，依题：．

由平面，点到平面的距离转化为到平面的距离，，，

，设平面的法向量为，可为，

．