Question

【题目】已知函数.

（1）若存在极值，求实数a的取值范围；

（2）设，设是定义在上的函数.

（ⅰ）证明：在上为单调递增函数(是的导函数)；

（ⅱ）讨论的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）.（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）答案见解析

【解析】

（1）求导得，按照、分类，求得、的解集即可得解；

（2）（ⅰ）令，对求导，按照、分类，证明恒大于0，即可得证；

（ⅱ）由的单调性结合，按照、分类，结合即可得解.

（1）求导得，

当时，，在R上单调递减，无极值；

当时，在单调递减，在上单调递增，

则在处有极小值.

综上，实数a的取值范围为；

（2）（ⅰ）证明：由题意，

∵令，

∴，

∵，

当时，，，，

则；

当时，令，则，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以，

从而有：，而，

则，则；

综上，对都有成立，

故在区间单调递增；

（ⅱ）由（ⅰ）知，在区间单调递增且，

①当时，，

当时，则在单调递减；

当时，则在单调递增，

则是的唯一极小值点，且，

从而可知：当时，在区间有唯一零点0；

②当时，有，

且，

故存在使，

此时在单调递减，在单调递增，

且

，

又，由零点存在定理知：

则在区间有唯一零点，记作，

从而可知：当时，在区间上有两个零点：0和；

综上：①当时，在区间有唯一零点0；

②当时，在区间有两个不同零点.