Question

【题目】如图，已知椭圆C:过原点的直线与椭圆交于A，B两点(点A在第一象限)，过点A作x轴的垂线，垂足为点，设直线BE与椭圆的另一交点为P，连接AP得到直线l，交x轴于点M，交y轴于点N.

（1）若，求直线AP的斜率；

（2）记的面积分别为S1，S2，S3，求的的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据，求出的坐标，再求出直线的方程，并与椭圆方程联立解得的坐标，最后用斜率公式可得直线AP的斜率；

（2）设，，则，利用三角形的面积公式求出，根据斜率公式和椭圆方程可得的斜率和直线的方程，进而求出的坐标和，最后用基本不等式可求得结果.

（1）因为，所以，

所以，，，

所以直线的方程为：，即，

联立，消去并整理得，

所以，，所以，

所以.

（2）设，，则，

则，

因为在直线：上，

所以，所以，

因为，

所以，

因为，

所以，

所以直线：，

所以，，

所以，

所以，

当且仅当时，等号成立.

所以的的最大值为.