Question

【题目】如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，为的中点．

（Ⅰ）求证：平面

（Ⅱ）若平面平面，异面直线与所成角为60°，且是钝角三角形，求二面角的正弦值

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）取的中点，连接，证明四边形为平行四边形，得到即可

（Ⅱ）由条件得出，然后证明平面，然后以为坐标原点，所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量即可.

（Ⅰ）证明：取的中点，连接，

因为为的中点，则，且，

又，且，所以，，

所以四边形为平行四边形，

所以，平面，平面，

所以平面

（Ⅱ）由题意可知，所以或其补角为异面直线与所成角，

又，为钝角三角形，所以，

又平面平面，平面平面，，

所以平面，

以为坐标原点，所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，

向量，，

设平面的法向量为

由得，令，

得平面的一个法向量为，

同理可得平面的一个法向量为

设二面角的平面角为，

则

则

故二面角的正弦值为