Question

【题目】已知函数f（x）＝axlnx﹣x2﹣ax+1（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点.

（1）求实数a的取值范围；

（2）设两个极值点分别为x1，x2，x1＜x2，证明：f（x1）+f（x2）＜2﹣x12+x22.

Answer 1

【答案】（1）a＞2e（2）证明见解析

【解析】

（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，确定导数正负即可求解函数单调性，结合单调性即可求解；

（2）分析要证明不等式特点，进行合理的变形，然后构造函数，结合导数及函数性质可证.

（1）由题意可知，f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＝alnx﹣2x，

令g（x）＝alnx﹣2x（x＞0），

由函数f（x）在定义域内有两个不同的极值点，可知g（x）在区间（0，+∞）内有两个不同的变号零点，

由可知，

当a≤0时，g'（x）＜0恒成立，即函数g（x）在（0，+∞）上单调，不符合题意，舍去.

当a＞0时，由g'（x）＞0得，，即函数g（x）在区间上单调递增；

由g'（x）＜0得，，即函数g（x）在区间上单调递减；

故要满足题意，必有，

解得：a＞2e；

又,∴函数g（x）在（1，）内有一个零点，

又当时，g（x），∴在（）内有一个零点，

∴a＞2e满足题意.

（2）由（1）可知，，

故要证：，

只需证明：，

即证：不妨设0＜x1＜x2，即证，

构造函数：h（t）＝lnt﹣t2+1（t＞1）其中，

由，所以函数h（t）在区间（1，+∞）内单调递减，所以h（t）＜h（1）＝0得证.