Question

【题目】已知数列是由正整数组成的无穷数列.若存在常数，使得任意的成立，则称数列具有性质.

（1）分别判断下列数列是否具有性质； (直接写出结论)

①

②

（2）若数列满足，求证:“数列具有性质”是“数列为常数列”的充分必要条件；

（3）已知数列中且.若数列具有性质，求数列的通项公式.

Answer 1

【答案】（1）①时，数列具有性质；②时，数列不具有性质.（2）证明见解析（3）.

【解析】

（1）代入验证即可得.

（2）充分性: 由及数列具有性质可得；必要性：数列为常数列，所以可证.

（3）数列具有性质，求出，由，对取值进行证明排除，得到，猜想，用反证法证明猜想成立.

（1）①时，数列具有性质.

②时，数列不具有性质.

（2），

，等号成立，当且仅当，

因为数列具有性质，即，

所以数列为常数列.

必要性：因为数列为常数列，所以，

成立，即数列具有性质.

（3）数列具有性质，，

，.

若，矛盾；

若则矛盾.

所以，

所以猜想.

证明如下：假设命题不成立，

设（ ），

考虑数列，当时具有性质，

此时，

即或，矛盾，.