Question

【题目】已知椭圆C：（）的离心率为，点在椭圆C上，直线与椭圆C交于不同的两点A，B.

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线，分别交y轴于M，N两点，问：x轴上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；点

【解析】

（1）根据椭圆的基本性质列出方程组，求解即可；

（2）假设存在点Q使得，根据几何关系得出，进而得到，设出直线，的方程，得出的纵坐标，进而得到，结合，解出的值，求出点Q的坐标.

解：（1）由题意

解得，.

所以椭圆C的方程为.

（2）假设存在点Q使得.设

因为，所以.则.

即，所以.

因为直线交椭圆C于A，B两点，则A，B两点关于y轴对称.

设，（），

因为，则直线的方程为：.

令，得.

直线的方程为：.

令，得.

因为，所以.

又因为点在椭圆C上，所以.

所以.即.

所以存在点使得成立.