Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点，离心率为，点是椭圆上的动点，的最大面积是．

（1）求椭圆的方程；

（2）圆E经过椭圆的左、右焦点，且与椭圆在第一象限的交点为，且三点共线，为坐标原点，直线交椭圆于两点，且．

（i） 求直线的斜率；

（ii）当的面积取到最大值时，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）；（ii）．

【解析】

（1）根据离心率建立等式，结合的最大面积是可求椭圆的方程；

（2）（i）利用圆的对称性可得圆心为轴上一点，结合，，三点共线可以表示出点的坐标，代入椭圆方程可求点，进而可得直线的斜率；

（ii）设出直线的方程，求出弦长，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，结合面积公式及二次函数知识可求直线的方程．

（1）∵离心率，，

∴，，

面积的最大值为：，

∴，；

∴椭圆方程为．

（2）（i）∵圆经过椭圆的两个焦点，

∴圆心为轴上一点，设点，

∵圆与椭圆在第一象限交于点，∴，

∵，，三点共线，且是圆的一条直径，

∴，

将点代入椭圆方程得到，即，

∴直线的斜率为．

（ii）∵，∴直线的斜率也为，设直线，，

联立，得，

，∴，

，，

，

点到直线：的距离，

∴．

∴当，即时的面积最大，此时直线的方程为：．