Question

【题目】已知椭圆过点，设它的左、右焦点分别为、，左顶点为，上顶点为，且满足．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率；

（Ⅱ）过点作不与轴垂直的直线交椭圆于、（异于点）两点，试判断的大小是否为定值，并说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）椭圆的方程为，离心率；（Ⅱ）是定值，理由见解析.

【解析】

（Ⅰ）根据题意建立有关、、的方程组，求出、、的值，进而可求得椭圆的标准方程和离心率；

（Ⅱ）设直线的方程为，设、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算计算出，进而可得出为定值.

（Ⅰ）解：根据题意得，解得，

所以椭圆的方程为，离心率；

（Ⅱ） 因为直线不与轴垂直，所以直线的斜率不为，

设直线的方程为，设、，

联立方程，化简得.

显然点在椭圆的内部，所以．

则，.

又因为，所以，．

所以，

所以，即是定值.