Question

【题目】已知四面体中,,,,为其外接球球心,与,,所成的角分别为,,.有下列结论：

①该四面体的外接球的表面积为,

②该四面体的体积为10,

③

④

其中所有正确结论的编号为___________

Answer 1

【答案】①④

【解析】

把四面体补成长方体,结合长方体的性质可求.

解:依题意,把四面体补成长方体,如图,设长方体的长、宽、高分别为,则

,解得；

①由于四面体的外接球就是长方体的外接球,

所以球的半径

可得该四面体的外接球的表面积为,故①正确；

②该四面体的体积等于长方体的体积去掉四个三棱锥的体积,

则故②错误；

③四面体的外接球的球心是长方体体对角线的中点,所以分别等同于长方体的体对角线与所成的角,则 ,

即,故③错误；

④,,是边长为,,的三角形的三个内角,

故,故④正确

结合选项可知正确结论的编号为①④.

故答案为：①④