Question

设实数x₁、x₂、…、x_n中的最大值为max{x₁、x₂、…、x_n}，最小值min{x₁、x₂、…、x_n}，设△ABC的三边长分别为a，b，c，且a≤b≤c，设△ABC的倾斜度为t=max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}•min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}，设a=2，则t的取值范围是

[1，

1+ 5

2

）

．

Answer 1

分析：根据题意，可得max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=c且min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=

2 b ，c＜ 1 2 b2 b c ，c≥ 1 2 b2

，因此对c＜

1

2

b²和c≥

1

2

b²两种情况加以讨论，利用三角形两边之和大于第三边和不等式的性质进行推导，联解不等式组可得t的取值范围是[1，

1+ 5

2

）．

解答：解：∵a=2，a≤b≤c，
∴max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=max{

2

b

，

b

c

，

c

2

}=

c

2

，
而min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=min{

2

b

，

b

c

，

c

2

}=

2 b ，c＜b2 b c ，c≥b2

①当c＜

1

2

b²时，t=

c

2

•

2

b

=

c

b

，可得c=tb，（t≥1）
∵由2+b＞c，得2+b＞tb，∴t≠1时，b＜

2

t-1

，
∵c=tb＜

1

2

b²，∴t＜

1

2

b，可得t＜

1

t-1

，
解之得1＜t＜

1+ 5

2

而t=1时，b=c＞a=2，符合题意．
∴此时t的范围为[1，

1+ 5

2

）．
②当c≥b²时，t=

c

2

•

b

c

=

b

2

，可得b=2t，
∵2+b＞c且c≥

1

2

b²，
∴2+b＞

1

2

b²⇒t²-t-1＜0，
解得1≤t＜

1+ 5

2

，
综上所述，可得当a=2时，t的取值范围是[1，

1+ 5

2

）．

点评：本题考查了实数的大小比较，函数的最值的求法，考查了学生分析解答问题的能力．