Question

设实数x₁、x₂、…、x_n中的最大值为max{x₁，x₂，…，x_n}，最小值min{x₁，x₂，…，x_n}，设△ABC的三边长分别为a、b、c，且a≤b≤c，设△ABC的倾斜度为t=max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}•min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}，若△ABC为等腰三角形，则t=

1

．

Answer 1

分析：分三种a=b=c、a=b＜c和a＜b=c三种情况加以讨论，分别求出max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}和min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}的值，即可算出总有实数t=1成立，得到本题答案．

解答：解：依据△ABC为等腰三角形，分三种a=b=c、a=b＜c和a＜b=c三种情况加以讨论，
若a=b=c，则max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=1
∴t=1；
若a=b＜c，则max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=

c

a

，min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=

b

c

，
∴t=

c

a

×

b

c

=1；
若a＜b=c，则max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=

c

a

，min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=

a

b

，
∴t=

c

a

×

a

b

=1．
∴△ABC为等腰三角形时，t=1．
故答案是1．

点评：本题考查了函数最值的含义及等腰三角形的定义，本题体现了分类讨论思想．