Question

5．设函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，又f（x）在（0，+∞）上是减函数，且f（x）＜0，试判断F（x）=$\frac{1}{f（x）}$在（-∞，0）上的单调性，并给出证明．

Answer 1

分析 设x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，则有-x₁＞-x₂＞0，然后根据奇函数f（x）在[0，+∞）上为减函数，建立不等关系，化简即可得到0＞f（x₁）＞f（x₂），从而得到函数的单调性．

解答 解：F（x）=$\frac{1}{f（x）}$是（-∞，0）上的单调递减函数．
证明如下：设x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，则有-x₁＞-x₂＞0…（4分）
∵f（x）是（0，+∞）上的减函数，∴f（-x₁）＜f（-x₂）…（7分）
又∵f（x）为R上的奇函数且f（x）＜0，∴-f（x₁）＜-f（x₂）＜0，即0＞f（x₁）＞f（x₂）．…（10分）
∴F（x₁）-F（x₂）=$\frac{1}{f（{x}_{1}）}$-$\frac{1}{f（{x}_{2}）}$=$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{f（{x}_{1}）f（{x}_{2}）}$＜0．
故F（x）=$\frac{1}{f（x）}$是（-∞，0）上的单调递增函数…．．（12分）

点评 本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数单调性的判断与证明，属于中档题．