Question

20．已知数列{x_n}满足x₁=$\frac{1}{2}$，且x_n+1=$\frac{{x}_{n}}{2-{x}_{n}}$，（n∈N⁺）．设a_n=$\frac{1}{{x}_{n}}$，求前四项，归纳求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由已知求出数列{a_n}的前4项，然后利用不完全归纳法归纳得到数列{a_n}的通项公式．

解答 解：由x₁=$\frac{1}{2}$，且x_n+1=$\frac{{x}_{n}}{2-{x}_{n}}$，
得${x}_{2}=\frac{{x}_{1}}{2-{x}_{1}}=\frac{\frac{1}{2}}{2-\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$，
${x}_{3}=\frac{{x}_{2}}{2-{x}_{2}}=\frac{\frac{1}{3}}{2-\frac{1}{3}}=\frac{1}{5}$，
${x}_{4}=\frac{{x}_{3}}{2-{x}_{3}}=\frac{\frac{1}{5}}{2-\frac{1}{5}}=\frac{1}{9}$，
∴${a}_{1}=\frac{1}{{x}_{1}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$=2^1-1+1，${a}_{2}=\frac{1}{{x}_{2}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$=2^2-1+1，${a}_{3}=\frac{1}{{x}_{3}}=\frac{1}{\frac{1}{5}}=5$=2^3-1+1，${a}_{4}=\frac{1}{{x}_{4}}=\frac{1}{\frac{1}{9}}=9$=2^4-1+1．
由上归纳可得：${a}_{n}={2}^{n-1}+1$．

点评 本题考查根据递推关系求数列的通项公式的方法，考查不完全归纳法，属中档题．