Question

已知函数f（x）=|x-a|及g（x）=x²+2ax+1（a＞0且a为常数），且函数f（x）及g（x）的图象与y轴交点的纵坐标相等．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意得：f（0）=g（0），即|a|=1，可得a=1．
（Ⅱ）由（I）可得：F（x）=f（x）+g（x）=|x-1|+x²+2x+1，分段讨论：当x≥1时与当x＜1时，F（x）的单调性，再结合函数的解析式证明函数在整个区间内单调．

解答：解：（Ⅰ）由题意得：f（0）=g（0），
即|a|=1，
又因为a＞0，
所以a=1．
（Ⅱ）由（I）可得：F（x）=f（x）+g（x）=|x-1|+x²+2x+1
①当x≥1时，F（x）=（x-1）+x²+2x+1=x²+3x=(x+

3

2

)2-

9

4

，
所以根据二次函数的现在可得：F（x）在[1+∞）在上单调递增．　　　 
②当x＜1时，F（x）=-（x-1）+x²+2x+1

=x2+x+2

=(x+ 1 2 )2+ 7 4

，
所以根据二次函数的现在可得：F（x）在[-

1

2

，1)上单调递增．
因为当x=1时，F（x）=4；当x＜1时，F（x）＜4，
所以F（x）在[-

1

2

，+∞)上单调递增．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握分段函数单调性的判断与单调区间的求解．