Question

已知函数f（x）=（a＞0）．
（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

解：（I）由题意得，f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f^′（x）=，∴f^′（1）=-2+a，
∵直线y=x+2的斜率为1，∴-2+a=-1，解得a=1，
所以f（x）=，∴f^′（x）=，
由f′（x）＞0解得x＞2；由f′（x）＜0解得0＜x＜2．
∴f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）
（II）依题得g（x）=，则=．
由g^′（x）＞0解得x＞1；由g^′（x）＜0解得0＜x＜1．
∴函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
又∵函数g（x）在区间[，e]上有两个零点，∴，
解得1＜b≤，∴b的取值范围是（1，]．
分析：（I）先求出函数f（x）的定义域和导函数f′（x），再由f′（1）=-1求出a的值，代入f′（x），由f′（x）＞0和f′（x）＜0进行求解，即判断出函数的单调区间；
（II）由（I）和题意求出g（x）的解析式，求出g′（x），由g′（x）＞0和g′（x）＜0进行求解，即判断出函数的单调区间，再由条件和函数零点的几何意义列出不等式组，求出b的范围．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及几何意义、函数零点等基础知识，注意求出函数的定义域，考查计算能力和分析问题的能力．