Question

7．已知数列{a_n}满足a_n+1=3a_n+1，且a₁=$\frac{1}{2}$
（1）设a_n+1+λ=3（a_n+λ），则{a_n+λ}成等比数列，求λ；
（2）求数列{a_n}的通项公式
（3）一般地，若a_n+1=sa_n+t（s≠1，t≠0），且a_n+1+λ=s（a_n+λ），使{a_n+λ}成等比数列，求λ（用s，t表示）

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=3a_n+1变形可知a_n+1+$\frac{1}{2}$=3（a_n+$\frac{1}{2}$），进而可得结论；
（2）通过（1）可知{a_n+$\frac{1}{2}$}是公比为3的等比数列，进而可知数列{a_n+$\frac{1}{2}$}是以1为首项、3为公比的等比数列，计算即得结论；
（3）比较a_n+1=sa_n+t（s≠1，t≠0）与a_n+1+λ=s（a_n+λ）可知sλ-λ=t，进而可得结论．

解答 解：（1）∵a_n+1=3a_n+1，
∴a_n+1+$\frac{1}{2}$=3（a_n+$\frac{1}{2}$），
∴λ=$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）可知{a_n+$\frac{1}{2}$}是公比为3的等比数列，
又∵a₁+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$=1，
∴数列{a_n+$\frac{1}{2}$}是以1为首项、3为公比的等比数列，
∴a_n+$\frac{1}{2}$=3^n-1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=-$\frac{1}{2}$+3^n-1；
（3）依题意，sλ-λ=t，
∴λ=$\frac{t}{s-1}$．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．