Question

求证：无论a取什么实数，二次函数y＝x²＋ax＋a－2的图象都与x轴相交于两个不同的点，并求出这两点间距离最小时的二次函数解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解：令x2＋ax＋a－2＝0． 　　∵Δ＝a2－4(a－2)＝a2－4a＋8＝(a－2)2＋4，∴无论a为任何实数，均有Δ＞0． 　　∴此二次函数必与x轴交于两个不同的点． 　　设这两个不同交点为A(x1，0)，B(x2，0)，则x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2， 　　∴交点之间的距离为 　　|AB|＝|x1－x2| 　　＝． 　　∴当a＝2时，|AB|最小＝＝2． 　　∴此时函数的解析式为y＝x2＋2x． 　　点评：利用韦达定理求出二次函数y＝x2＋ax＋a－2的图象与x轴两交点之间的距离，再用配方法求出a取何值时，距离最小，一般来说不要解一元二次方程求交点，可直接应用求根公式得|x1－x2|＝．

提示：

要证明二次函数图象与x轴有两个交点，只要证明相应的一元二次方程有两个不相等的实数根．二次函数图象与x轴有两交点，求两交点间的距离，可以转化为对应一元二次方程两根差的绝对值，再用韦达定理及二次函数的最值知识求出a的值．