Question

无论a取什么实数，方程x²+2y²-ax+ay-a-1=0表示的椭圆都和一条定直线相交，且截得的弦长为定值，则这个定值是

2 2

3

．

Answer 1

分析：由题意可得，x²+2y²-ax+ay-a-1=（x²+2y²-1）-a（x-y+1）=0，方程所表示的曲线是椭圆x2+

y2

1 2

=1与直线x-y+1=0，联立直线与椭圆方程可求交点坐标，代入弦长公式

解答：解：∵x²+2y²-ax+ay-a-1=（x²+2y²-1）-a（x-y+1）=0
方程所表示的曲线是椭圆x2+

y2

1 2

=1与直线x-y+1=0

x2+2y2=1 x-y+1=0

可得3x²+4x+1=0
解可得

x1=-1 y1=0

或

x2=- 1 3 y2= 2 3

弦长为：

(-1+ 1 3 )2+(0- 2 3 )2

=

2 2

3

故答案为：

2 2

3

点评：本题主要考查了直线与椭圆的相交求弦长，解题的关键是由曲线方程系求出直线与椭圆的方程，属于综合性试题．