Question

已知函数f（x）=|x²-2x-1|若1＞a＞b，f（a）=f（b），则u=（b-a）³-3（a²+b²）+6ab+1的范围是

1. A.
   （1，1+）
2. B.
   [-1，3]
3. C.
   [0，5）
4. D.
   [0，2）

Answer 1

B
分析：先化简函数u=（b-a）³-3（a²+b²）+6ab+1=（b-a）³-3（b-a）²+1，再判断b-a的取值范围，从而可得结论．
解答：f（x）=|x²-2x-1|=|（x-1）²-2|，图象是一个对称轴为x=1的抛物线，把x轴下方的图形关于x轴翻折上去，
设这个图形与x轴交点分别为x₁，x₂（x₁＜x₂）
那么在x₁＜x＜x₂，f（x）有最大值，在x=1时取得，f（1）=2
解方程 f（x）=|x²-2x-1|=2，可以算出x=-1或1或3
∵1＞a＞b，f（a）=f（b），
∴-1＜b＜a＜1，a²+2a-1＜0，b²+2b-1＞0
∵u=（b-a）³-3（a²+b²）+6ab+1=（b-a）³-3（b-a）²+1
∴只需判断b-a的取值范围，
∵-1＜b＜0＜a＜1，-（a²+2a-1）=b²+2b-1
∴（a+1）²+（b+1）²=4
设a+1=2cosα，b+1=2sinα（0＜α＜）
∴b-a=2sin（α-）
∴-2＜b-a＜0
考查函数y=x³-3x+1在（-2，0）的值域
求导函数可得y′=3x²-3
令y′＞0，可得x＜-1或x＞1；令y′＜0，可得-1＜x＜1
∴函数在x=-1处取得极大3，在x=-2处取得极小值为-1
∴u=（b-a）³-3（a²+b²）+6ab+1的范围是[-1，3]
故选B
点评：本题考查函数的性质，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．