[题目]如图.已知正四棱柱中.底面边长.侧棱的长为4.过点作的垂线交侧棱于点.交于点．(1)求证: ⊥平面,(2)求二面角的余弦值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，已知正四棱柱中，底面边长，侧棱的长为4，过点作的垂线交侧棱于点，交于点．

（1）求证： ⊥平面；

（2）求二面角的余弦值。

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）因为是正四棱柱，所以可证得，同理可得，即得证平面

（2）以DA、DC、分别为轴，建立直角坐标系，由，找出两个面的法向量，代入公式即得解.

试题解析：

（1）连接AC，因为是正四棱柱，

所以

同理可得

又因为,所以平面．

（2）解法一：以DA、DC、分别为轴，建立直角坐标系，设则

，由

设面DBE的法向量为.由

由令得：

设平面的法向量为.由，由

令得：设与所成的角为，

则值

由题意：二面角为锐角，二面角的余弦值为

解法二：连AC交BD于O，可证是二面角的平面角

二面角的余弦值为

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