Question

（2015•赤峰模拟）某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间（t），结果如下：

类别	铁观音	龙井	金骏眉	大红袍
顾客数（人）	20	30	40	10
时间t（分钟/人）	2	3	4	6

注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．
（1）求服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；
（2）用X表示至第4分钟末已准备好了工具的顾客人数，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,几何概型,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）设Y表示服务员准备工具所需的时间，用P表示对应的概率，求出Y的分布列，由此能求出“服务员在第6分钟开始为第三位顾客准备泡茶工具”的概率．
（2）分析得X的可能取值为0，1，2，求出相应的概率能求出X的分布列与数学期望．

解答： 解：（1）设Y表示服务员准备工具所需的时间，用P表示概率，得Y的分布列如下；

Y	2	3	4	6
P	1 5	3 10	2 5	1 10

A表示事件“服务员在6分钟开始为第三位顾客准备泡茶工具”，则事件A对应两种情形：
①为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟，且为第二位所需的时间为3分钟；
②为第一位顾客所需的时间为3分钟，且为第一位顾客准备所需的时间为2分钟；
∴P（A）=P（Y=2）•P（Y=3）+P（Y=3）•P（Y=2）
=

1

5

×

3

10

+

3

10

×

1

5

=

3

25

．
（2）X的取值为0、1、2，
X=0时对应为第一位顾客准备所需的时间超过4分钟，
∴P（X=0）=P（Y＞4）=

1

10

；
X=1对应为第一位顾客所需的时间2分钟且为第二位顾客准备所需的时间超过2分钟，
或为第一位顾客准备所需的时间3分钟或为第一位顾客准备所需的时间4分钟，
∴P（X=1）=P（Y=2）•P（Y＞2）+P（Y=3）+P（ Y=4）
=

1

5

×

4

5

+

3

10

+

2

5

=

43

50

，
X=2对应准备两位顾客泡茶工具的时间均为2分钟，
∴P（X=2）=P（Y=2）P（Y=2）=

1

5

×

1

5

=

1

25

，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	1 10	43 50	1 25

∴X的数学期望是E（X）=0×

1

10

+1×

43

50

+2×

1

25

=

47

50

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．